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江岩声

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比利时列日大学理工学院2013年7月高考数学题——几何  

2013-07-14 14:51:29|  分类: 科技论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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不出所料,儿子果然没考过,四门数学考试,三门不及格(代数,几何,数学分析),其中几何最差,五道题,任选三道,他说做了一题半,但从他得分看,做得都不对。我相信,他脑袋里的几何,就是一团浆糊,甚至不知道什么叫对,什么叫不对,乱作一气。好在9月份还可补考。如果他暑假里努力,应该还有点希望,因为另外两门不及格的不是太差。但这家伙要看我们大人能不能做出来,才会服气,于是我和老婆便开始舍命陪逆子读书。昨天晚饭后(韭菜猪肉饺子),我和老婆在厨房坐下,一人一张纸,找出了直尺,三角板。我削了一段铅笔,约一寸长,刮细,斩断,塞入朝女儿借的圆规。她的圆规铅芯断了,也不置换,就那么拖着,也不知多长时间。现在的孩子,一个比一个懒!

老婆看到题,说,她最喜欢几何了。我则最害怕。我上初中时(1969-1972),没专门学过几何,尤其没做过几道证明题。学过几何的一些基本概念,都散见在一本叫作《数学》的小册子里,就像现在的中学教材。初中两年半,我们就学了那一本《数学》,厚约一厘米。有一次数学测验,就一道题,画在黑板上,有个圆,几何证明题,现在已经忘了要证明什么。一堂课下来,班上50多人,没一人做出来。老师姓张,男的,是我们连连长,站在讲台上,看着眼皮下坐第一排的我,问,江岩声,你也没做出来?我羞愧得直想钻到桌子底下去。那时,大家都知道我在自学数学,会解二元二次方程,远远超过老师教学进度。张连长可能以为我有多大本事。

所以,昨晚开始做时,心里没底。还好,花了一个小时,思维上走了两个弯路,最后灵光忽然闪现,做出了

第一题

Par un point P intérieur à un cercle C de contre O, on trace deux droites perpendiculaires. Les intersections de ces droites avec C forment les sommets d'un quadrilatère convexe ABCD (过圆C内一点P,画两道垂线,交C圆周于A,B,C,D四点。用直线连接此四点,得凸四边形ABCD) 。 

(a) Démontrer que les angles, <AOB, et ,<COD, sont supplémentaires(求证:<AOB 和<COD互为补角).

(b) Par les points A, B, C, et D, on mène quatre tangentes à C, qui forment les cotés d'un nouveau quadrilatère convexe. Démontrer que ce quadrilatère est inscriptible (过A,B,C,D四点做四条切线,得一个新的凸四边形。证明此四边形为内接四边形).

解:

(a)根据题意,画图如下:

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何 - 江岩声 - 江岩声

 

求证<AOB 和< COD 互为补角,就是求证<AOB + < COD = 180°.

观察可知,<CBD = < COD / 2(圆周角=圆心角的一半)。

< PCB = 90 - <CBD (两角互为余角,因为<BPC是直角)。

也就是,

< PCB = 90 - < COD / 2

观察可知,< PCB = <AOB / 2 (圆周角=圆心角的一半)。

于是,得方程:

<AOB / 2 = 90 - < COD / 2

解之,得

<AOB + < COD = 180。

即<AOB和<COD互为补角。

 

(b)根据题意,在上图中,过A,B,C,D四点做四条切线,得下图:

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何 - 江岩声 - 江岩声

欲证明四边形EFGH为内接四边形,只要证明其两对角之和等于180°, 例如< CFD + < AHB = 180°.  

观察可知,<CDF = < COD / 2  (弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角的度数,也就是相应圆心角的一半)。

而三角形CDF是等腰三角形,所以2<CDF+<CFD = 180。也即<CFD = 180 - 2<CDF = 180° - < COD。

即<CFD + < COD = 180°。

但根据(a)所证, < COD + < AOB = 180°, 得<CFD = < AOB。

同理可证,<AHB = < COD

于是,<CFD + <AHB = < AOB + < COD = 180°。

四边形EFGH为内接四边形。

 

第二题 (2013/07/16解出)

On donne un cercle C de centre O, et on considère trois points A, B et C de ce cercle tels que A et B sont fixés et diamétralement opposés. On construit alors le point D de telle sorte que les vecteurs DC et CB soient égaux. On demande de (圆C以O为圆心,考虑其上A,B,C三点,其中A和B固定,并位于一条直径两端。考虑另外一点D,矢量DC和矢量CB相等。)

(a) trouver le lieu du point D lorsque C parcourt C.(当C沿圆周运动时,试求D点的轨迹。)

(b) trouver le lieu du point M, défini comme l’intersection des droites AC et OD, lorsque C parcourt C.(令M为线段AC和OD的交点,当点C沿圆C作圆周运动时,试求M点的轨迹)

(Dans les deux cas, décrire avec précision la nature du lieu. 两种情况下,均须准确说明轨迹的性质)

解:

(a) 根据题意,画图如下: 

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题) - 江岩声 - 江岩声

建立坐标系xOy,直径AB与x轴重合,r = AB/2。任选圆C上一点为C,做矢量CB。由题意,在BC延长线上,以BC等长确定点D,则矢量DC=矢量CB。设D点坐标为(x,y)。因C点为线段DB的中点,其坐标为线段DB两端点坐标的平均值,即

xC = (xD+xB) /2 = (x + r) /2

yC = (yD+yB)/2 = (y + 0)/2= y/2

当点C沿圆周运动时,其轨迹方程为:

(xC) 平方+ (yC)  平方 = r平方

代入xC, yC的表达式,得

((x + r) /2)平方+ (y/2)平方= r平方

整理,得

(x + r)平方+ y平方= (2r)平方 

结论:当点C沿圆C作圆周运动时,点D的轨迹是圆,其圆心(-r,0),即点A,其半径2r = AB,由下图中红圆表示。

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题) - 江岩声 - 江岩声

 

 (b) 根据题意,在上图中,连接AC,OD,得交点M。并作辅助线DA,如下图所示。

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题) - 江岩声 - 江岩声观察三角形ABD。

因为DC = CB,AO = OB,所以线段AC和OD是三角形ABD的两条中线,其交点M便是三角形ABD的形心,因而OM = OD/3。于是,点M的坐标(xM, yM)与点D的坐标(x,y)有如下关系(注意到点O为原点(0,0)):

xM = x / 3

yM = y /3

x = 3 (xM) ------------------(1)

y = 3 (yM)-------------------(2)

由(a)的结果,有

(x + r)平方+ y平方= (2r)平方

代入(1) 、(2)两式,得 

(3 (xM)+ r)平方+ (3 (yM))平方= (2r)平方

整理,得:

(xM+ r/3)平方+ (yM)平方= (2r/3)平方

结论:点M的轨迹也是圆,其圆心坐标为(- r/3,0),半径为2r/3,如下图的蓝圆

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题) - 江岩声 - 江岩声

 

第三题 (2013/07/17解出)

Dans un triangle ABC, on note respectivement A’, B’ et C’ les milieux des cotés [BC], [AC] et [AB]. Démontr|AA’|2 et que, si les droites AA’ et BB’ sont perpendiculaires, alors on a

|AA’|2 + |BB’|2  = |CC’|2 (|AA’|的平方 + |BB’|的平方= |CC’|的平方)

Où |XY| désigne la longueur du segment [XY].

在三角形ABC,以点A’,B’, C’分别表示边[BC], [AC] 和 [AB]的中点。 求证:如果线段AA’ 与BB’互相垂直, 则下列关系成立:

|AA’|的平方 + |BB’|的平方= |CC’|的平方

此处, |XY| 表示线段[XY]的长度。

解:根据题意,画图如下,线段AA'垂直于线段BB'。

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题) - 江岩声 - 江岩声

因为CA' = A'B; BC' = C'A; AB' = B'C(A’,B’ ,C’ 分别是三边中点)

所以AA', BB' 和CC'是三角形ABC三条中线。其交点是形心。

 

 

 

 

 

形心O为原点,BB'为x轴,AA'为y轴,建立坐标系,如下图所示(为看着方便,将图形旋转,使x轴水平)。

比利时列日大学2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题) - 江岩声 - 江岩声

因为形心在每条中线的1/3处(距相应底边),所以可定义各点坐标如红字所示。

因为点C'是底边AA'的中点,则其坐标是两端点A,B坐标的平均值,即(1,-1)。

因此,点C'到原点(形心)的距离OC' = 根号(2)。

OC = 2 OC' = 2 x 根号(2)

|AA’| = 3

 |BB’| = 3

|AA’|的平方 + |BB’|的平方 = 3的平方+ 3的平方 = 18

|CC’| = OC + OC' = 2 x 根号(2)+ 根号(2)= 3 x 根号(2)

|CC’|的平方= (3 x 根号(2))的平方 = 18

于是,|AA’|的平方 + |BB’|的平方 = |CC’|的平方。证毕。

附注一:因为x和y坐标彼此独立,所以,虽然在所建立的坐标系中, |AA’| = 3,|BB’| = 3,但并不意味着这两条线段的绝对长度(即用尺量的话)相等。 实际上,为了作图方便,|AA’| 与BB’| 的实际比值为,|BB’| : |AA’|= 4 : 3 (以使|CC’|为5)。

附注二:本题在火车上解出,只花了10分钟,2013年7月17日17点26-17点36。说明有时将几何问题化为解析几何来解,可事半功倍,特简洁。

第四题 (2013/07/19解出)

On se place dans un repère orthonormé de l’espace. On donne les droites d1, d2, d3 par les équations cartésiennes suivantes, a et b étant des réels non simultanément nuls.

d1 : y = 0, z = x

d2 : y = 2, z = 1 – x

d3 : y = 1, a x + b z = 1

On considère alors une droite d incluse dans un plan d’équation z = λ, où λ est un paramètre réel, telle que d s’appuie à la fois sur d1 et sur d2. On demande de

(a)    donner des équations cartésiennes de d, en fonction des données et du paramètre λ.

(b)   déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles d s’appuie sur la droite d3.  

正交空间中,有三条直线,d1, d2, d3,其在直角坐标系中的方程如下,a, b 不同时为零。

d1 : y = 0, z = x

d2 : y = 2, z = 1 – x

d3 : y = 1, a x + b z = 1

考虑由方程z = λ定义的平面内的直线(λ为实数)d。该直线与d1 和d2相交。

(a)写出直线d在直角坐标系中的方程,以所给数据和λ为参数。

(b)确定a和b的值,使直线d与d3相交。

解:

(a)根据题意,画图如下。

比利时列日大学理工学院2013年7月高考数学题——几何(第1题+第2题+第3题) - 江岩声 - 江岩声

 

 直线d与d1交与D1,坐标为(λ,0,λ)。

直线d与d2交与D2,坐标为(1-λ,2,λ)。

 

直角坐标系中,已知两点坐标,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2) , 此两点确定的空间直线的一般方程为:

x - x1       y - y1      z - z1
-------- = --------- = ---------
x2 - x1    y2 - y1     z2 - z1

 

在本题中,只需前一个等式,因为直线d在平面z = λ,可直接写出

 

z = λ。另一个方程是:

             x -  λ        y - 0          
           ----------- = -------
            (1-λ) - λ     2 - 0          

整理,得

            2x - (1-2λ)y -2λ = 0    --------------------------(1)


(b)根据题意,在上图中增加平面 y = 1,直线d3(蓝色),与直线d(红色)相交于点D3,D3在平面z=λ和y=1内,如下图所示:

比利时列日大学理工学院2013年7月高考数学题——几何(第1、2、3、4题) - 江岩声 - 江岩声

 

因D3与直线d相交,所以满足(a)解得的直线d方程。在(1)式中,代入y=1,得:

          2x - (1-2λ) -2λ = 0

           x = 1/2。

点D3的坐标是(1/2,1,λ) 。

将x=1/2, z=λ代入题目所给d3的方程:a x + b z = 1

得:

           a/2 + bλ = 1

           a = 2 - 2bλ

即a, b两值中,有一值不是独立的。

第五题 (2013/07/20解出)

(a) Démontrer que si un point P de l’espace est équidistant de deux droites sécantes en un point A, alors les projections orthogonales de P sur ces deux droites sont équidistantes de A.

若空间中的点P到两相交直线的距离相等,求证:点P在这两直线上的垂足到点A的距离相等。

(b) En déduire que si les six arêtes d’un tétraèdre ABCD sont tangentes à une même sphère, alors on a |AB| + |CD | = |AC | + |BD | =  | AD| + |BC | , où |XY| désigne le longueur du segment [XY] .

试证推论:如果四面体ABCD的六条棱线均与一个球体相切,则

|AB| + |CD | = |AC| + |BD | =  | AD| + |BC | , 此处|XY| 表示线段[XY]的长度 。

解:

(a) 根据题意,画图如下。

比利时列日大学理工学院2013年7月高考数学题——几何(第1、2、3、4题) - 江岩声 - 江岩声

 已知: |PB| = |PC|

须求证:|AB| = |AC|

作辅助线PA。应用勾股定理,得

|AB| 的平方 =   |PA| 的平方 - |PB| 的平方

|AC| 的平方 =   |PA| 的平方 - |PC| 的平方

将两式相减,得

|AB| 的平方 - |AC| 的平方 = - |PB| 的平方 + |PC| 的平方

因为|PB| = |PC|,右端=0。

所以|AB| 的平方= |AC| 的平方, 即|AB|  = |AC|。证毕。

 (b) 根据题意,画图如下。
比利时列日大学理工学院2013年7月高考数学题——几何(第1、2、3、4题) - 江岩声 - 江岩声

 设球心为O。由球心向六条棱线分别作投影,得点a,b,c,d,e,f。这六点也是球与六条棱线的切点。点O与这六点的连线与点所在的棱线垂直,且是半径,因而都相等。

根据(a)的结果,可写出下列12个等式:

|Aa| = |Ad| ----------------------(1)

|Aa| = |Ab| ----------------------(2)

|Ab| = |Ad| ----------------------(3)

 

|Ba| = |Be| ----------------------(4)

|Ba| = |Bf| ----------------------(5)

|Be| = |Bf| ----------------------(6)

|Ce| = |Cc| ----------------------(7)

|Ce| = |Cd| ----------------------(8)

|Cd| = |Cc| ----------------------(9)

|Dc| = |Db| ----------------------(10)

|Dc| = |Df| ----------------------(11)

|Db| = |Df| ----------------------(12)

|AB| + |CD| = |Aa| + |Ba| + |Cc| + |Dc| = |Ad| + |Bf| + |Cd| + |Df| = |Ad| + |Cd| + |Bf| + |Df| = |AC| + |BD|

|AD| + |BC| = |Ad| + |Db| + |Be| + |Ce| = |Ad| +|Df|+ |Bf| + |Cd| |AC| + |BD|

|AB| + |CD| = |AC| + |BD| = |AD| + |BC|

证毕。

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